Mathématiques
Nombres décimaux
Pourquoi ça existe ?
Avant d’entrer
Le problème. Le lac d'un barrage est à 2,35 m. L'alerte sonne à 2,7 m. Combien manque-t-il, en centimètres ?
À ton avis
À 2,35 m, l'alerte de 2,7 m sonne-t-elle déjà ?
À essayer : fais monter le niveau jusqu'à l'alerte ; multiplie-le par 10, puis par 0,1 ; arrondis 2,58 au dixième.
Le lac est à 2,35 m, l'alerte à 2,7 m : sonne-t-elle ? Lire un nombre à virgule chiffre par chiffre, le comparer, l'arrondir, le multiplier par 10 ou par 0,1.
La formule, symbole par symbole
\(\displaystyle 2{,}35 = 2 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{5}{100}\)
Touche chaque morceau pour lire ce qu’il veut dire.
Tous les symboles
| \(2{,}35\) | le niveau du lac, en mètres : un seul nombre, écrit avec une virgule |
| La virgule | elle ne sépare pas deux nombres : elle marque la place des unités, juste à sa gauche |
| \(2\) | la partie entière : 2 unités |
| \(+\) | les valeurs des chiffres s'ajoutent : des unités, puis des dixièmes, puis des centièmes |
| \(\dfrac{3}{10}\) | 3 dixièmes : l'unité est coupée en 10 parts égales, on en prend 3. C'est le premier rang après la virgule |
| \(\dfrac{5}{100}\) | 5 centièmes : l'unité est coupée en 100 parts égales, on en prend 5. C'est le deuxième rang après la virgule |
L'image mentale
La virgule reste, les chiffres bougent
Un tableau à colonnes : chaque chiffre y a sa place, et la place dit ce qu'il vaut. Dans 1 047,106, le 4 vaut 40 et le 6 vaut 6 millièmes. Multiplier par 10, c'est faire monter chaque chiffre d'une colonne : 3,5 devient 35. Diviser par 10, ou multiplier par 0,1, c'est les faire descendre. La virgule, elle, ne quitte jamais sa place : juste après les unités.
Où elle s'arrête. Le tableau range des chiffres, il ne montre pas les grandeurs. Il ne dit pas si un nombre est plus près de 2 que de 3 : pour cela, il faut la droite graduée.
Aster : tu devines d'abord, puis tu touches la figure avant de lire. Pourquoi ce conseil
Fais monter le niveau du lac, centième par centième, avant de lire les définitions. Ce que tu auras vu de tes yeux, le texte ne fera que le nommer.
Les définitions
Ce qui est toujours vrai
Pour comparer deux nombres à virgule, ce n'est pas la longueur qui compte, mais le premier rang où ils diffèrent, en partant de la gauche. Penses-y dès que deux nombres n'ont pas le même nombre de chiffres après la virgule.
L’énoncé exact
Comparer : on compare les parties entières, puis les dixièmes, puis les centièmes. Des zéros ajoutés à droite de la partie décimale ne changent pas le nombre : \(4{,}1=4{,}10\).
Multiplier par 10 ne colle pas un zéro au bout du nombre : cela fait monter chaque chiffre d'un rang, et la virgule reste à sa place. Penses-y dès qu'un nombre à virgule est multiplié ou divisé par 10, 100 ou 1 000.
L’énoncé exact
Multiplier par \(10\), \(100\), \(1\,000\) : chaque chiffre monte d'un, deux, trois rangs. Diviser par \(10\), \(100\), ou multiplier par \(0{,}1\), \(0{,}01\) : chaque chiffre descend. Multiplier par \(0{,}1\), c'est diviser par \(10\).
Arrondir, c'est choisir la graduation la plus proche, pas couper le nombre. Penses-y quand on te demande un résultat « au dixième » : un seul chiffre décide, celui qui suit.
L’énoncé exact
Arrondir au dixième : on garde un chiffre après la virgule. Si le chiffre des centièmes est \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) ou \(4\), on garde le chiffre des dixièmes ; s'il est \(5\) ou plus, on l'augmente de \(1\). Un nombre situé juste au milieu, comme \(7{,}85\), s'arrondit par convention vers le haut : \(7{,}9\).
Recommencer cette notion ? Sur cet appareil, la page oublie où tu en étais dans cette notion : les étapes du fil, ta phrase, les onglets cochés. Ce que tu as déjà réussi reste compté, et tes rappels restent prévus.
Comment je fais ?
Aster : avant chaque étape, dis ce que tu ferais. Pourquoi ce conseil
Te tromper, puis lire la bonne réponse, t'apprend plus que lire d'abord.
Les étapes, en bref
- Placer chaque chiffre dans le tableau de numération, la virgule juste après les unités : un chiffre vaut selon son rang.
- Ajouter ou soustraire : poser les nombres virgule sous virgule, en complétant par des zéros à droite, qui ne changent pas le nombre.
- Selon la question, multiplier ou diviser par 10, 100, 1 000 : déplacer les chiffres, pas la virgule ; \(\times10\) agrandit, \(\div10\) et \(\times0{,}1\) réduisent.
- Selon la question, comparer rang par rang, en partant de la gauche : le premier rang où les nombres diffèrent décide.
- Selon la question, arrondir : regarder le chiffre qui suit le rang demandé ; \(5\) ou plus, on monte.
Est-ce que j’y arrive ?
Aster : pose chaque calcul seul, puis compare avec la correction. Pourquoi ce conseil
Écrire ta réponse avant de la lire t'oblige à choisir la méthode, comme le jour de l'examen. Passe d'un type d'exercice à l'autre plutôt que de refaire le même. Aster te redonnera cette notion, espacée, dans Aujourd'hui : refais-la alors sans la correction.
À toi · le même problème, d'autres nombres
La rivière en crue
Une rivière est à 3,48 m ; l'alerte de crue sonne à 3,6 m. Comme pour le lac du barrage :
Varier les exercices
Les réflexes de l’examen
Est-ce que je sais faire seul, sur un problème nouveau ?
Aster : fais tout le sujet, puis corrige-toi honnêtement. Pourquoi ce conseil
Se tester apprend plus que relire. Pour chaque erreur, repère l'étape qui a manqué : c'est plus utile que la note.
- Lis tout le sujet avant d’écrire.
- Commence par ce que tu sais faire.
- Si tu bloques plus de 3 min, passe et reviens.
Examen de la notion · sans calculatrice
Au stade
- Lina court le 100 m en 13,4 s ; Sam, en 13,38 s. Combien de secondes les séparent à l'arrivée ?
- Le chronométreur annonce chaque temps au dixième de seconde le plus proche. Qu'annonce-t-il pour le temps de Sam, 13,38 s ?
- Au saut en longueur, Lina réussit trois essais : 4,5 m ; 4,48 m ; 4,09 m. Quel est son meilleur essai ? Donner sa longueur en mètres.
- Écrire le saut de 4,09 m en centimètres.
- Un tour de piste mesure 0,4 km. Quelle distance Sam parcourt-il en 10 tours, en km ?
- Lina s'arrête après un dixième de tour. Quelle distance a-t-elle parcourue, en km ?
Et ailleurs ?
Où retrouve-t-on cette idée ?
Partout la même idée : un chiffre vaut selon sa place, et changer d'unité fait glisser les chiffres d'un rang à l'autre sans rien changer à la mesure.
- Flotter ou couler. En physique, on compare la masse d'un centimètre cube de matière à celle d'un centimètre cube d'eau : 0,92 g pour la glace, 1 g pour l'eau. 0,92 est plus petit que 1 : 0 unité contre 1, et les deux chiffres après la virgule n'y changent rien. Cela explique pourquoi un glaçon flotte, et pourquoi il dépasse si peu de l'eau : il ne s'en faut que de 8 centièmes. Masse volumique (4ᵉ)
- Les milliampères. En électricité, le disjoncteur d'une maison coupe le courant dès qu'une fuite atteint 0,03 A. Sur son boîtier, on lit pourtant 30 mA : un ampère vaut 1 000 milliampères, et multiplier par 1 000 fait monter chaque chiffre de trois rangs. Cela explique qu'un même appareil puisse afficher 0,03 ou 30 sans que la mesure ait changé : seule l'unité a changé. Intensité du courant (4ᵉ)