Mathématiques
Dérivation : nombre dérivé, tangente, fonction dérivée
Pourquoi ça existe ?
Avant d’entrer
Ce que cette notion ajoute. Depuis la 5e, une vitesse est une distance divisée par une durée ; depuis la 2de, la pente d'une droite se calcule entre deux points. Ici, on donne une vitesse à un seul instant et une pente en un seul point : la limite des vitesses moyennes quand la durée se resserre.
Le problème. Une trottinette démarre : en t secondes, elle parcourt \(d(t) = t^2\) mètres. Que doit afficher son compteur à t = 1 s ?
À ton avis
De 1 s à 2 s, elle fait 3 m/s de moyenne. À t = 1 s, son compteur affiche…
À essayer : attrape B et rapproche-le de A ; la sécante pivote, et sa pente change. Lis-la à chaque arrêt : elle s'approche d'un nombre, lequel ? Quand B est tout près, une droite apparaît : promène alors A sur la courbe, et regarde-la changer d'inclinaison.
Une vitesse se mesure entre deux instants. Comment en donner une à un seul instant ?
La formule, symbole par symbole
\(\displaystyle v(1) = \lim_{h \to 0} \dfrac{d(1+h) - d(1)}{h}\)
\(\displaystyle d(t) = t^2\)
Touche chaque morceau pour lire ce qu’il veut dire.
Tous les symboles
| \(v(1)\) | la vitesse à l'instant t = 1 s, en m/s : ce que le compteur affiche, et ce qu'on cherche |
| \(\lim\) | « limite » : le nombre dont le quotient s'approche, d'aussi près qu'on veut |
| \(h \to 0\) | h devient de plus en plus petit, sans jamais valoir 0 : on ne divise pas par 0 |
| \(h\) | la durée de la mesure, en secondes : sur la figure, l'écart entre A et B |
| \(d(1+h) - d(1)\) | la distance parcourue pendant cette durée, en mètres : de combien B est plus haut que A |
| \(\dfrac{\phantom{d}\cdots\phantom{d}}{h}\) | distance divisée par durée : la vitesse moyenne entre 1 s et 1 + h s. Sur la figure, la pente de la sécante ; son nom général est le taux de variation |
| \(d(t)\) | la distance parcourue depuis le départ, au bout de t secondes, en mètres : la hauteur de la courbe |
| \(t^2\) | le temps multiplié par lui-même : 1 m au bout de 1 s, 4 m au bout de 2 s, 9 m au bout de 3 s. La trottinette accélère |
| \(\text{m/s}\) | mètres par seconde, l'unité d'une vitesse : des mètres divisés par des secondes. L'unité d'une dérivée est toujours un quotient d'unités |
| \(f'(a)\), « f prime de a » | Un nombre : la pente de la tangente en \(a\). Pas une hauteur : la courbe, elle, passe par \(f(a)\). C'est l'écriture générale : ici, \(v(1) = d'(1)\). |
L'image mentale
La sécante qui se resserre
Un débitmètre, un compteur de vitesse, un taux d'accroissement économique : chaque fois qu'une grandeur varie, sa dérivée dit à quelle vitesse. L'image pour le voir : deux photos de la trottinette, prises à h secondes d'écart, sont les points A et B de la courbe. La droite qui les relie, la sécante, a pour pente la vitesse moyenne entre les deux photos : (f(a + h) − f(a))/h, le taux de variation. Rapproche les deux photos : la sécante pivote et vient se poser sur une droite limite, la tangente en A. Sa pente est le nombre dérivé f′(a) : la vitesse à l'instant de la photo A. Ce que l'image capture : tout près de A, la courbe se confond avec sa tangente, f(a + h) ≈ f(a) + f′(a)h.
Où elle s'arrête. Là où la courbe fait un angle (|x| en 0) ou part à la verticale (√x en 0), les sécantes ne se posent sur aucune droite : pas de tangente, pas de nombre dérivé. Et voir la sécante se stabiliser ne prouve rien : c'est le calcul de la limite qui le garantit.
Aster : fais pivoter la sécante avant de lire les définitions. Pourquoi ce conseil
Ce que tu auras vu de tes yeux, le texte ne fera que le nommer.
Les définitions
Ce qui est toujours vrai
Pour les fonctions courantes, le passage à la limite a été fait une fois pour toutes : la pente en chaque point se lit dans un tableau, à connaître.
L’énoncé exact
Dérivées de référence : pour \(n\) entier, \(n \geq 1\), \(x^n\) a pour dérivée \(n\,x^{n-1}\) sur \(\mathbb{R}\) ; \(\dfrac1x\) a pour dérivée \(-\dfrac{1}{x^2}\) sur \(\mathbb{R}^*\) ; \(\sqrt{x}\) a pour dérivée \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) : la racine carrée est définie en 0, mais n'y est pas dérivable.
La dérivée d'une somme se calcule terme à terme, et un facteur constant reste devant. Un produit ou un quotient ne se dérive pas facteur par facteur : chacun a sa propre formule.
L’énoncé exact
Opérations : si \(u\) et \(v\) sont dérivables sur un intervalle \(I\) et si \(k\) est un réel, alors sur \(I\) : \((u+v)'=u'+v'\), \((k\,u)'=k\,u'\), \((u\,v)'=u'v+u\,v'\), \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-u\,v'}{v^2}\). Pour le quotient, il faut de plus que \(v\) ne s'annule pas sur \(I\).
Recommencer cette notion ? Sur cet appareil, la page oublie où tu en étais dans cette notion : les étapes du fil, ta phrase, les onglets cochés. Ce que tu as déjà réussi reste compté, et tes rappels restent prévus.
Comment je fais ?
Aster : avant chaque étape, dis ce que tu ferais. Pourquoi ce conseil
Te tromper, puis lire la bonne réponse, t'apprend plus que lire d'abord.
Les étapes, en bref
- Ce qu'on cherche d'abord : une vitesse à un instant, un débit à un instant, une pente en un point : c'est un nombre dérivé, \(f'(a)\). Son unité est un quotient : des mètres divisés par des secondes, des m/s.
- Par la limite : écris \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\), simplifie par \(h\), puis fais tendre \(h\) vers 0.
- Selon la question, la tangente : calcule \(f(a)\) et \(f'(a)\), puis écris \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\). Deux ingrédients, jamais un seul.
- Selon la question, une estimation : pour estimer \(f(a+h)\) sans calculatrice, remplace la courbe par sa tangente : \(f(a)+f'(a)\,h\).
- Selon la fonction, par les règles : pour un polynôme, dérive terme à terme : \(x^n\) devient \(n\,x^{n-1}\), et un coefficient reste devant. Un produit et un quotient ont chacun leur formule. C'est le second problème, plus bas : « Et sans refaire la limite à chaque fois ? ».
Est-ce que j’y arrive ?
Aster : pose chaque calcul seul, puis compare avec la correction. Pourquoi ce conseil
Écrire ta réponse avant de la lire t'oblige à choisir la méthode, comme le jour de l'examen. Passe d'un type d'exercice à l'autre plutôt que de refaire le même. Aster te redonnera cette notion, espacée, dans Aujourd'hui : refais-la alors sans la correction.
À toi · le même problème, d'autres nombres
Le scooter
Même question, autre engin. Un scooter démarre : au bout de \(t\) secondes, il a parcouru \(d(t) = 1{,}5\,t^2\) mètres. 1) Sa vitesse moyenne entre 3 s et 5 s ; 2) sa vitesse à l'instant 3 s ; 3) la distance qu'annonce la tangente pour 3,2 s.
Varier les exercices
Les réflexes de l’examen
Est-ce que je sais faire seul, sur un problème nouveau ?
Aster : fais tout le sujet, puis corrige-toi honnêtement. Pourquoi ce conseil
Se tester apprend plus que relire. Pour chaque erreur, repère l'étape qui a manqué : c'est plus utile que la note.
- Lis tout le sujet avant d’écrire.
- Commence par ce que tu sais faire.
- Si tu bloques plus de 3 min, passe et reviens.
Examen de la notion · sans calculatrice
Le ballon et la rampe
- Un ballon est lancé vers le haut. Tant qu'il est en l'air, sa hauteur est \(y(t) = 1 + 14t - 5t^2\) mètres, t en secondes. À quelle vitesse monte-t-il à l'instant t = 1 s ? Répondre en m/s.
- Quelle est sa vitesse moyenne entre t = 1 s et t = 2 s ? Répondre en m/s, positivement vers le haut.
- Le profil d'une rampe de skate suit la courbe \(y = \dfrac{x^2}{4}\), x et y en mètres. On pose une planche bien droite contre la rampe : elle la touche à l'abscisse 2, avec la même pente qu'elle. À quelle hauteur se trouve la planche à l'abscisse 4 ?
- De combien la rampe monte-t-elle, à peu près, quand on avance de 10 cm à partir de l'abscisse 2 ? Répondre en mètres, au centimètre près.
Et ailleurs ?
Où retrouve-t-on cette idée ?
Partout la même idée : quand une grandeur varie, sa dérivée dit à quelle allure elle change, à cet instant : la pente de la tangente à sa courbe.
- L'accélération. La vitesse aussi varie : sa dérivée est l'accélération, en m/s par seconde. Pour la trottinette, \(d'(t) = 2t\) gagne 2 m/s à chaque seconde : une accélération de 2 m/s². Cela explique ce qu'on ressent dans un véhicule : le siège pousse quand la vitesse change, pas quand elle est grande ; à 300 km/h stabilisés, dans un train, on ne sent rien. Position, vitesse, accélération (Tle)
- La vitesse d'une réaction chimique. En chimie, on suit la concentration d'un réactif au cours du temps. La vitesse à laquelle il disparaît est l'opposé de la pente de la tangente à cette courbe. Cela explique qu'une réaction ralentisse d'elle-même : à mesure que le réactif s'épuise, la courbe s'aplatit, et sa tangente avec elle. Cinétique chimique (Tle)
- Le courant qui charge un condensateur. Un courant est un débit de charges : \(i = \dfrac{dq}{dt}\), ce qui se lit « dérivée de q par rapport à t » : c'est \(q'(t)\). Pour un condensateur, il suit la pente de la tension à ses bornes. Cela explique la charge d'un flash d'appareil photo : le courant est fort au début, quand la tension grimpe vite, puis nul à la fin, quand elle ne bouge plus. Condensateur et circuit RC (Tle)