Mécanique des fluides
Débit, continuité et Bernoulli
Pourquoi ça existe ?
Avant d’entrer
Ce que cette notion ajoute. En terminale, l'eau qui accélère voit sa pression baisser. Ici, on le chiffre : la charge se conserve, pression, vitesse et altitude s'échangent, et un Venturi en tire le débit ; quand le niveau d'un bassin baisse, un bilan de volume en tire la durée.
Le problème. Un Venturi (entrée 200 mm, col 100 mm) équipe la conduite qui amène l'eau à l'usine. Son tube en U à mercure lit 300 mm : quel débit passe ?
À ton avis
Dans le Venturi, on fait passer deux fois plus d'eau. La dénivellation du tube en U…
À essayer : attrape la paroi du col et pince-le, puis fais varier le débit et regarde le tube en U ; incline le Venturi ; enfin la sonde de Prandtl et la cuve qui se vide.
Comment un tuyau qui se resserre dit-il combien d'eau passe ?
La formule, symbole par symbole
\(\displaystyle p_1 + \tfrac12\rho v_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \tfrac12\rho v_2^2 + \rho g z_2\)
\(\displaystyle Q = v_1 S_1 = v_2 S_2\)
Touche chaque morceau pour lire ce qu’il veut dire.
Tous les symboles
| \(p_1\) | la pression de l'eau à l'entrée du Venturi, en pascals : la poussée qu'elle exerce sur chaque mètre carré |
| \(\tfrac12\rho v_1^2\) | l'énergie de mouvement d'un mètre cube d'eau qui passe à la vitesse v₁ ; ρ, la masse volumique, 1 000 kg/m³ pour l'eau |
| \(\rho g z_1\) | l'énergie de position d'un mètre cube d'eau à l'altitude z₁ : plus l'eau est haute, plus elle en a |
| \(=\) | la conservation : la somme des trois est la même au point 1 et au point 2, sur la même ligne de courant, tant que rien ne frotte |
| \(p_2,\ v_2,\ z_2\) | les mêmes grandeurs au point 2, le col : la section la plus étroite |
| \(Q\) | le débit, ce qu'on cherche : le volume d'eau qui passe chaque seconde, en m³/s (1 m³/s = 1 000 L/s) |
| \(v_1 S_1\) | la vitesse fois la section : le volume qui traverse la section 1 en une seconde |
| \(= v_2 S_2\) | le même volume traverse le col : ce qui entre sort. Une section plus petite impose une vitesse plus grande |
| \(\text{Pa}\) | le pascal, l'unité de pression : 1 Pa = 1 N/m² ; 1 bar = 100 000 Pa. Une énergie par mètre cube s'écrit aussi en pascals : J/m³ = N/m² |
L'image mentale
La charge qui se partage
Dans une conduite qui se rétrécit, chaque seconde, autant d'eau doit passer : elle accélère. Ce surcroît de vitesse, elle le paie en pression, car la charge, somme de la hauteur de pression, de la hauteur de vitesse et de l'altitude, ne change pas le long d'une ligne de courant tant qu'aucun frottement n'en prélève. L'image à garder : un budget fixe que l'eau répartit entre trois postes, pousser, avancer, être haut. Un tube en U branché au col voit la pression baisser : c'est ainsi qu'on mesure un débit. Où l'image s'arrête : le passage du réel au modèle suppose un fluide parfait, sans frottement, incompressible, en régime permanent, avec une vitesse uniforme sur chaque section. Dans un vrai tuyau long, le frottement prélève de la charge tout au long du trajet (les pertes de charge, la notion suivante) ; dans un gaz rapide, la masse volumique change ; et la pression ne peut pas descendre sous la pression de vapeur : l'eau cavite. Enfin, quand le niveau d'un réservoir baisse, l'écoulement n'est plus permanent : on applique Bernoulli à chaque instant, ce qui ne vaut que si le niveau descend lentement devant la vitesse du jet.
Aster : tu devines d'abord, puis tu touches la figure avant de lire. Pourquoi ce conseil
Fais parler la figure avant de lire les définitions : ce que tu auras vu (une pression qui baisse où la vitesse monte, une charge qui reste la même), le texte ne fera que le nommer.
Les définitions
Ce qui est toujours vrai
Le long du trajet de l'eau, ce que gagne la vitesse, la pression ou l'altitude le perd : la charge se conserve tant que rien ne frotte. Y penser dès qu'un fluide accélère, ralentit ou change de hauteur sur un trajet court.
L’énoncé exact
Bernoulli par l'énergie. Suivons, pendant \(\mathrm dt\), le fluide d'un tube de courant entre les sections 1 et 2 ; en régime permanent, le bilan revient à suivre la masse \(\mathrm dm=\rho Q\,\mathrm dt\) qui passe de 1 à 2. Les forces de pression lui fournissent le travail \((p_1-p_2)\dfrac{\mathrm dm}\rho\), la pesanteur \(-\mathrm dm\,g(z_2-z_1)\), et le théorème de l'énergie cinétique donne \(\tfrac12\mathrm dm(v_2^2-v_1^2)=(p_1-p_2)\dfrac{\mathrm dm}\rho-\mathrm dm\,g(z_2-z_1)\), soit \(p+\tfrac12\rho v^2+\rho gz\) conservé. Ce que gagne la vitesse, la pression ou l'altitude le perd ; sous la pression de vapeur, \(2\,300\) Pa pour l'eau, le liquide cavite.
Ce qui entre sort : à débit donné, une section plus petite impose une vitesse plus grande, en raison inverse de la section. Y penser avant Bernoulli, pour n'y garder qu'une inconnue.
L’énoncé exact
Continuité : pour un fluide incompressible en régime permanent, le débit est le même à travers toutes les sections d'un tube de courant, \(Q = v_1S_1 = v_2S_2\). Pour une conduite circulaire, \(\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{S_1}{S_2} = \left(\dfrac{D_1}{D_2}\right)^2\).
Un tube en U entre deux prises lit la différence des pressions motrices, jamais l'altitude seule : un Venturi incliné donne le même débit pour la même lecture. Au point d'arrêt d'une sonde, toute l'énergie de vitesse est devenue pression.
L’énoncé exact
Les trois mesures. Le Venturi : avec la continuité, \((\rho_m-\rho)g\Delta h=\tfrac12\rho(v_2^2-v_1^2)\), d'où \(Q=S_2\sqrt{\dfrac{2(\rho_m-\rho)g\Delta h}{\rho\left(1-(S_2/S_1)^2\right)}}\), quelle que soit l'inclinaison. La sonde de Pitot : au point d'arrêt, \(v=0\), et \(p_t-p=\tfrac12\rho v^2\), d'où \(v=\sqrt{\dfrac{2(\rho_m-\rho)g\Delta h}\rho}\). Torricelli : par un orifice petit devant la cuve, à la profondeur \(h\), \(v=\sqrt{2gh}\), et, sous un gaz en surpression \(p_s\), \(v=\sqrt{2\left(gh+\dfrac{p_s}\rho\right)}\).
Quand le niveau d'un réservoir baisse, le débit baisse avec la racine de la hauteur : la vidange dure deux fois plus longtemps qu'à débit constant. Y penser dès qu'un réservoir se vide par son fond.
L’énoncé exact
La vidange. Une cuve de section \(S\) se vide par un orifice de section \(s\) : le bilan de volume donne \(S\dfrac{\mathrm dh}{\mathrm dt}=-s\sqrt{2gh}\), une équation à variables séparées. \(\dfrac{\mathrm dh}{\sqrt h}=-\dfrac sS\sqrt{2g}\,\mathrm dt\) s'intègre en \(2\sqrt h\) : la cuve, pleine sur la hauteur \(h_0\), se vide en \(T=\dfrac Ss\sqrt{\dfrac{2h_0}g}\), deux fois plus longtemps que si le débit restait celui du départ. On a supposé que Bernoulli vaut à chaque instant : le niveau descend lentement devant la vitesse du jet.
Pourquoi c'est utile
Mesurer un débit dans une conduite sans la couper, la vitesse d'un avion ou d'un vent de soufflerie, le temps de vidange d'une cuve ou d'un bassin d'orage : la continuité et Bernoulli répondent avec deux lignes de calcul, avant que les pertes de charge ne viennent les corriger.
Recommencer cette notion ? Sur cet appareil, la page oublie où tu en étais dans cette notion : les étapes du fil, ta phrase, les onglets cochés. Ce que tu as déjà réussi reste compté, et tes rappels restent prévus.
Comment je fais ?
Aster : avant chaque étape, dis ce que tu ferais. Pourquoi ce conseil
Te tromper, puis lire la bonne réponse, t'apprend plus que lire d'abord.
Les étapes, en bref
- Ce qu'on cherche d'abord : deux points sur une même ligne de courant, là où l'on connaît le plus (une prise de pression, une surface libre où \(p = p_{\text{atm}}\), un jet à l'air libre, un point d'arrêt où \(v = 0\)), et les hypothèses du modèle : fluide parfait, incompressible, régime permanent.
- La continuité ensuite : \(Q = v_1S_1 = v_2S_2\) relie les vitesses, pour ne garder qu'une inconnue ; une section est \(\dfrac{\pi D^2}4\), D en mètres.
- Bernoulli entre les deux points : \(p_1 + \tfrac12\rho v_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \tfrac12\rho v_2^2 + \rho g z_2\) ; un tube en U lit la différence des pressions motrices, \((\rho_m - \rho)g\Delta h\), sans terme d'altitude. Contrôle : là où la vitesse monte, la pression baisse.
- Selon la question, un niveau qui baisse : Bernoulli à chaque instant donne le débit, \(s\sqrt{2gh}\) ; un bilan de volume, \(S\,\dfrac{dh}{dt} = -s\sqrt{2gh}\), donne la durée. C'est le second problème, plus bas : « Et quand le niveau baisse ? ».
Est-ce que j’y arrive ?
Aster : pose chaque calcul seul, puis compare avec la correction. Pourquoi ce conseil
Écrire ta réponse avant de la lire t'oblige à choisir la méthode, comme le jour de l'examen. Passe d'un type d'exercice à l'autre plutôt que de refaire le même. Aster te redonnera cette notion, espacée, dans Aujourd'hui : refais-la alors sans la correction.
À toi · le même problème, d'autres nombres
Le Venturi d'un lotissement
La canalisation qui alimente un lotissement porte un Venturi horizontal : entrée de \(160\) mm, col de \(80\) mm. Son tube en U à mercure (\(\rho_m = 13\,600\) kg/m³) lit \(\Delta h = 180\) mm ; \(\rho = 1\,000\) kg/m³, \(g = 9{,}81\) m/s². 1) La chute de pression entre l'entrée et le col ; 2) la vitesse au col ; 3) le débit.
Varier les exercices
Les réflexes de l’examen
Est-ce que je sais faire seul, sur un problème nouveau ?
Aster : fais tout le sujet, puis corrige-toi honnêtement. Pourquoi ce conseil
Se tester apprend plus que relire. Pour chaque erreur, repère l'étape qui a manqué : c'est plus utile que la note.
- Lis tout le sujet avant d’écrire.
- Commence par ce que tu sais faire.
- Si tu bloques plus de 3 min, passe et reviens.
Examen de la notion · calculatrice autorisée
Le canal, le forage et la piscine
- Pour mesurer le courant d'un canal d'irrigation, on y plonge un tube coudé dont l'ouverture fait face à l'eau ; une prise sur son flanc lit la pression de l'eau qui passe. Un tube en U à mercure relie les deux et lit \(12\) mm ; \(\rho = 1\,000\) kg/m³, \(\rho_m = 13\,600\) kg/m³, \(g = 9{,}81\) m/s². Quelle est la vitesse du courant, en m/s, à 0,01 près ?
- Dans un forage, l'eau monte à la verticale à travers un rétrécissement : entrée de \(120\) mm, col de \(60\) mm, placé \(1{,}2\) m plus haut. Deux capteurs séparés lisent, en pression relative, \(2{,}40\) bar à l'entrée et \(2{,}05\) bar au col. Quel est le débit, en L/s, à 0,1 près ?
- Une piscine hors-sol cylindrique de \(3{,}6\) m de diamètre, remplie sur \(1{,}2\) m, se vide par une bonde de fond de \(40\) mm de diamètre, bien arrondie (on néglige la contraction du jet). Combien de temps met-elle à se vider, en minutes, à 0,5 près ?
- Au bout de combien de temps le débit de la bonde est-il tombé à la moitié de celui du départ, en minutes, à 0,5 près ?
Et ailleurs ?
Où retrouve-t-on cette idée ?
Partout la même idée : ce qui entre sort, et une énergie qui se conserve se répartit entre plusieurs formes ; quand l'une grandit, une autre diminue d'autant.
- Le courant dans un circuit. Le débit d'eau et le courant électrique obéissent à la même règle : rien ne s'accumule. Dans un tuyau, \(Q = v_1S_1 = v_2S_2\) ; à un nœud, la somme des courants qui arrivent égale celle des courants qui repartent. C'est ainsi que l'on comprend pourquoi l'intensité est la même en tout point d'un circuit en série : comme l'eau dans un tuyau sans fuite, les charges n'ont nulle part où s'entasser. Lois des circuits et caractéristiques (2ᵈᵉ)
- La bille sur un toboggan. Sans frottement, l'énergie de position d'une bille qui descend devient énergie de mouvement : \(\tfrac12 mv^2 + mgz\) reste constant. Divisé par le volume, c'est la conservation de la charge sans le terme de pression. C'est ainsi que le jet d'une cuve sort à \(\sqrt{2gh}\), la vitesse d'une bille lâchée de la même hauteur, et que la vitesse en bas d'un toboggan sans frottement ne dépend que de la hauteur descendue, pas de sa forme. Énergie potentielle, énergie mécanique (1ʳᵉ)