Mathématiques
Fonctions de référence, ensemble de définition, f(x) = k (2ᵈᵉ)
Pourquoi ça existe ?
Avant d’entrer
Ce que cette notion ajoute. En 3e, une fonction traçait une droite : doubler le nombre de départ doublait son image. Ici, cinq courbes qui ne sont plus des droites : on prévoit leur allure, leurs valeurs interdites, et combien de fois une valeur est atteinte.
Le problème. Sur route mouillée, à \(v\) km/h, on freine sur \(v^2/100\) mètres. Obstacle à 36 m : jusqu'à quelle vitesse s'arrête-t-on à temps ?
À ton avis
À 50 km/h, la voiture freine sur 25 m. Et à 100 km/h ?
À essayer : sur la courbe du freinage, attrape la droite et pose-la à 16, à 64, puis à 100 : lis chaque fois la vitesse au point commun. Puis touche « x² », la parabole entière : deux solutions pour 4 (−2 et 2), une seule pour 0, aucune sous 0. Puis 1/x avec 0 : la droite ne coupe jamais l'hyperbole. Puis √x : la courbe commence en 0, rien à gauche. Enfin, quitte le fil et change de figure : pose un point sur la parabole, puis compare deux points d'abscisses opposées, sur x² et sur x³.
Cinq courbes à connaître par cœur, un ensemble de définition à vérifier avant tout calcul, et deux façons de résoudre f(x) = k : lire, puis calculer.
La formule, symbole par symbole
\(\displaystyle d = \dfrac{v^2}{100}\)
Touche chaque morceau pour lire ce qu’il veut dire.
Tous les symboles
| \(d\) | la distance de freinage, en mètres : ce que la voiture parcourt entre le coup de frein et l'arrêt. Sur la figure, la hauteur d'un point de la courbe |
| \(v\) | la vitesse au moment où l'on freine, en km/h : l'axe horizontal de la figure |
| \(v^2\) | la vitesse multipliée par elle-même, \(v \times v\). C'est la fonction carré, \(x \mapsto x^2\), qui se cache dans la formule : sa courbe est une parabole |
| \(100\) | un nombre fixe, qui dépend de la route : ici, une chaussée mouillée. Diviser par 100 aplatit la parabole sans changer sa forme. Sur une route sèche, on diviserait par 200 environ : la voiture s'arrêterait deux fois plus court |
| \(\text{km/h}\) et \(\text{m}\) | les unités de la formule : elle n'est juste que si la vitesse est en km/h et la distance en mètres. Avec une vitesse en m/s, le nombre 100 changerait |
| \(36\ \text{m}\) | la donnée du problème, qui n'est pas dans la formule : la distance de l'obstacle. Sur la figure, c'est la hauteur où poser la droite horizontale |
L'image mentale
La règle posée sur la courbe
Pose une règle horizontale à la hauteur \(k\) sur la courbe de \(f\). Là où la règle touche la courbe, tu lis les solutions de \(f(x)=k\) : leurs abscisses. Là où la courbe passe sous la règle, tu lis les solutions de \(f(x)\lt k\). Compter les points communs, c'est compter les solutions : deux, une ou aucune.
Où elle s'arrête. La règle ne lit que ce qui est tracé, et à l'œil : une solution hors du cadre lui échappe, et √5 se lit environ 2,24 ; c'est le calcul qui l'écrit exactement.
Aster : tu devines d'abord, puis tu touches la figure avant de lire. Pourquoi ce conseil
Fais parler la figure avant de lire les définitions : monte et descends la droite, compte les points où elle coupe la courbe. Ce que tu auras vu de tes yeux, le texte ne fera que le nommer.
Les définitions
Ce qui est toujours vrai
Chaque courbe de référence monte et descend toujours aux mêmes endroits : le savoir permet de ranger deux images sans les calculer.
L’énoncé exact
Sens de variation : \(x\mapsto x^2\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) ; \(x\mapsto\dfrac1x\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) et sur \(]0\,;\,+\infty[\) (séparément : pas sur \(\mathbb R^*\) tout entier) ; \(x\mapsto\sqrt x\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) ; \(x\mapsto x^3\) est croissante sur \(\mathbb R\).
Deux nombres opposés ont le même carré et la même valeur absolue ; leurs inverses et leurs cubes sont opposés. La courbe le montre par une symétrie.
L’énoncé exact
Parité et symétrie : \(f\) paire (\(f(-x)=f(x)\)) a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, comme \(x^2\) et \(|x|\) ; \(f\) impaire (\(f(-x)=-f(x)\)) a une courbe symétrique par rapport à l'origine, comme \(\dfrac1x\) et \(x^3\). C'est pour cela que \(x^2=k\) a des solutions opposées.
Une droite horizontale coupe chaque courbe de référence un nombre de fois connu d'avance : c'est le nombre de solutions de l'équation, avant tout calcul.
L’énoncé exact
Nombre de solutions de \(x^2=k\) : deux si \(k\gt 0\) (\(-\sqrt k\) et \(\sqrt k\)), une si \(k=0\), aucune si \(k\lt 0\). Même règle pour \(|x|=k\) (avec \(-k\) et \(k\)). Pour \(x^3=k\) : toujours une seule solution. Pour \(\dfrac1x=k\) : une seule, \(x=\dfrac1k\), si \(k\neq0\) ; aucune si \(k=0\). Pour \(\sqrt x=k\) : une seule, \(x=k^2\), si \(k\geqslant0\) ; aucune si \(k\lt 0\).
Entre 0 et 1, élever au carré rapetisse un nombre et prendre sa racine l'agrandit ; au-delà de 1, c'est le contraire.
L’énoncé exact
Comparaison : pour \(0\leqslant x\leqslant1\), \(x^2\leqslant x\leqslant\sqrt x\) ; pour \(x\geqslant1\), c'est l'ordre inverse : \(\sqrt x\leqslant x\leqslant x^2\). Les trois courbes se croisent en 0 et en 1.
Recommencer cette notion ? Sur cet appareil, la page oublie où tu en étais dans cette notion : les étapes du fil, ta phrase, les onglets cochés. Ce que tu as déjà réussi reste compté, et tes rappels restent prévus.
Comment je fais ?
Aster : avant chaque étape, dis ce que tu ferais. Pourquoi ce conseil
Te tromper, puis lire la bonne réponse, t'apprend plus que lire d'abord.
Les étapes, en bref
- D'abord, toujours : reconnaître la fonction de référence derrière la formule : carré, inverse, racine, cube ou valeur absolue, éventuellement multipliée par un nombre. Elle donne l'allure de la courbe : sa forme, sa parité, son sens de variation, ses valeurs interdites.
- Puis l'ensemble de définition : dénominateur \(\neq0\), intérieur de racine \(\geqslant0\), et les contraintes de l'énoncé (une longueur est positive). Il se fixe avant tout calcul.
- Selon la question, une image ou un point : on remplace \(x\) par sa valeur ; \(M(a\,;\,b)\) est sur la courbe si et seulement si \(f(a)=b\). On calcule, on compare.
- Selon la question, une équation \(f(x)=k\) : on lit les points communs avec la droite \(y=k\), puis on calcule (racine, inverse, carré), et on ne garde que les solutions qui sont dans le domaine.
- Selon la question, une inéquation \(f(x)\lt k\) : on lit où la courbe est sous la droite, on écrit l'intervalle avec les bonnes bornes, et on respecte le domaine.
Est-ce que j’y arrive ?
Aster : pose chaque calcul seul, puis compare avec la correction. Pourquoi ce conseil
Écrire ta réponse avant de la lire t'oblige à choisir la méthode, comme le jour de l'examen. Passe d'un type d'exercice à l'autre plutôt que de refaire le même. Aster te redonnera cette notion, espacée, dans Aujourd'hui : refais-la alors sans la correction.
À toi · le même problème, d'autres nombres
La route sèche
Sur route sèche, les pneus accrochent mieux : la même voiture freine sur \(d = \dfrac{v^2}{200}\) mètres, v en km/h, \(v \gt 0\). Le même problème, sans les étapes : 1) la distance de freinage à 80 km/h ; 2) la vitesse pour laquelle elle vaut 50 m ; 3) la plus grande vitesse qui permet de s'arrêter en 8 m au plus.
Varier les exercices
Encore plus · crée ton propre TD
Crée ton TD
Choisis une fonction de référence et une hauteur \(k\) : Aster écrit l'énoncé (ensemble de définition, équation, inéquation) et sa correction complète. Fais-le sur ta feuille, puis compare.
Les réflexes de l’examen
Est-ce que je sais faire seul, sur un problème nouveau ?
Aster : fais tout le sujet, puis corrige-toi honnêtement. Pourquoi ce conseil
Se tester apprend plus que relire. Pour chaque erreur, repère l'étape qui a manqué : c'est plus utile que la note.
- Lis tout le sujet avant d’écrire.
- Commence par ce que tu sais faire.
- Si tu bloques plus de 3 min, passe et reviens.
Examen de la notion · calculatrice autorisée
Le caillou, la piscine et le pont
- Du haut d'une falaise de 45 m, on lâche un caillou. Au bout de t secondes de chute, il a parcouru \(h = 5t^2\) mètres. Au bout de combien de secondes touche-t-il l'eau ?
- Pendant combien de secondes le caillou reste-t-il à moins de 20 m sous le sommet de la falaise ?
- On remplit une piscine de 60 m³ avec un tuyau qui débite q m³ par heure : le remplissage dure \(T = \dfrac{60}{q}\) heures. Quel débit faut-il, au minimum, pour que la piscine soit pleine en 8 h au plus ?
- Le câble d'un pont suspendu pend entre deux pylônes. À x mètres du milieu du pont, x allant de −100 (le pylône de gauche) à 100 (celui de droite), le câble est à \(y = \dfrac{x^2}{400}\) mètres au-dessus de la chaussée. Sur quelle longueur du pont le câble est-il à 4 m de la chaussée au plus ?
Et ailleurs ?
Où retrouve-t-on cette idée ?
Partout la même idée : derrière une formule, une courbe de référence, carré, inverse ou racine, qui dit d'avance comment la grandeur réagit.
- L'énergie d'un véhicule. Une voiture qui roule porte une énergie de mouvement, \(E_c = \dfrac12\,m\,v^2\) : la vitesse y est au carré. Freiner, c'est faire disparaître cette énergie dans les freins. Deux fois plus vite, quatre fois plus d'énergie à faire disparaître : cela explique que la distance de freinage soit multipliée par quatre, et pas par deux. Énergie cinétique (3ᵉ)
- La note d'un son. Un son se répète : la durée d'un motif est sa période T, et le nombre de motifs par seconde sa fréquence, \(f = \dfrac1T\). C'est la fonction inverse : un motif deux fois plus long, une fréquence deux fois plus petite. Cela explique qu'une corde qui vibre plus lentement donne une note plus grave. Signal sonore (2ᵈᵉ)
- Le courant et le court-circuit. Sous une tension fixée, le courant qui traverse une résistance est \(I = \dfrac{U}{R}\) : la fonction inverse, avec R à la place de x. Quand R s'approche de 0, le courant grimpe sans limite, comme l'hyperbole près de l'axe vertical : cela explique qu'un court-circuit, où la résistance est presque nulle, fasse fondre un fusible. Loi d'Ohm (4ᵉ)
- La vitesse d'une chute. Un objet lâché d'une hauteur h arrive en bas à la vitesse \(v = \sqrt{2\,g\,h}\), où g mesure la pesanteur : la fonction racine carrée, qui monte de moins en moins vite. Cela explique que tomber de deux fois plus haut ne fasse pas arriver deux fois plus vite, mais seulement 1,4 fois environ. Énergie mécanique (1ʳᵉ)