Génie électrique

Triphasé : tensions simples et composées, étoile et triangle, puissances

Pourquoi ça existe ?

À ton avis

Trois radiateurs identiques passent d'un couplage en étoile à un couplage en triangle, sur le même réseau. La puissance qu'ils consomment…

À essayer : attrape la pointe de Ī₁ et écarte-la de V̄₁ : la bobine grandit avec l'angle φ, et le courant baisse. Puis « les tensions » : attrape la pointe de V̄₁ et fais tourner tout le système. Ensuite « étoile R » puis « triangle R » : compare la puissance du même radiateur dans les deux couplages, puis « les wattmètres ».

Trois phaseurs à 120° : d'où vient le √3, pourquoi J ≠ I en triangle, ce que mesurent deux wattmètres

L'image mentale

Trois phaseurs, un triangle, un √3

V̄₁V̄₂V̄₃Ū₁₂Trois phaseurs à 120°,longueur V = 230 V.Leurs pointes : untriangle équilatéral.Chaque côté est unetension composée :U = 2 V cos 30°= √3 V = 398 V,en avance de 30°.

Trois tensions de même valeur efficace \(V\), décalées d'un tiers de période : trois phaseurs à \(120°\). Une tension composée est une différence de deux d'entre eux, \(\overline{U}_{12}=\overline{V}_1-\overline{V}_2\) : on met \(-\overline{V}_2\) au bout de \(\overline{V}_1\). Le triangle \((0,\overline{V}_1,\overline{U}_{12})\) est isocèle d'angle \(120°\), donc \(U=2V\cos30°=\sqrt{3}\,V\), et \(\overline{U}_{12}\) est en avance de \(30°\). Tout le triphasé tient dans ce triangle : le même \(\sqrt{3}\) et le même \(30°\) reviennent entre un courant de branche et un courant de ligne en triangle, et dans les lectures des deux wattmètres.

Où elle s'arrête. Tout cela suppose des charges équilibrées. Si une phase est plus chargée que les autres, la puissance n'est plus constante, et un courant circule dans le neutre s'il est relié.

Aster : tu devines d'abord, puis tu touches la figure avant de lire. Pourquoi ce conseil

Commence par la figure : dans « les tensions », active « les tensions composées » et regarde \(-\overline{V}_2\) se poser au bout de \(\overline{V}_1\) ; dans « les courants », passe d'« étoile R » à « triangle R » et lis \(I\) tripler ; puis « les wattmètres », et « le champ », où ▶ fait tourner la résultante des trois courants. Les six étapes de la Méthode refont ensuite le calcul à la main sur un moteur en triangle.

Les symboles, en mots simples

Ce que veut dire chaque lettre, et où la voir sur la figure.

\(V\), \(U\)La tension simple (fil–neutre) et la tension composée (fil–fil) : \(U=\sqrt{3}\,V\), ici \(230\) V et \(398{,}4\) V. Sur la figure : les flèches \(\overline{V}_k\) et \(\overline{U}_{ij}\) du Fresnel, les lectures à gauche.
\(\overline{V}_1,\overline{V}_2,\overline{V}_3\)Les trois phaseurs à \(120°\) : \(V\), \(V e^{-j2\pi/3}\), \(V e^{+j2\pi/3}\) (système direct : la phase 2 en retard). Sur la figure : les trois flèches épaisses, une couleur par phase.
\(\overline{U}_{12}\)\(\overline{V}_1-\overline{V}_2\) : la différence de deux phaseurs à \(120°\), \(\sqrt{3}\,V\) en avance de \(30°\). Sur la figure : le bouton « les tensions composées », avec \(-\overline{V}_2\) en pointillé au bout de \(\overline{V}_1\).
\(J\), \(I\)Le courant de branche (dans une impédance) et le courant de ligne (dans un fil). Étoile : \(I=J\). Triangle : \(I=\sqrt{3}\,J\). Sur la figure : les deux premières cases, et le bouton « les courants de branche ».
\(\overline{J}_{12}\)Le courant de la branche 1-2 d'un triangle, \(\overline{U}_{12}/\overline{Z}\). Sur la figure : les flèches grises, et la construction \(\overline{I}_1=\overline{J}_{12}-\overline{J}_{31}\).
\(\varphi\)Le déphasage par phase, \(\arg\overline{V}_1-\arg\overline{I}_1=\arg\overline{Z}\), le même en étoile et en triangle. Sur la figure : l'arc entre \(\overline{V}_1\) et \(\overline{I}_1\), dans la figure des courants.
\(\overline{Z}\), \(\overline{Y}\)L'impédance d'une branche et son inverse, l'admittance : pour \(R\parallel C\), \(\overline{Y}=1/R+jC\omega\) s'écrit en une ligne. Sur la figure : le groupe « Branche » et les trois curseurs.
\(P\), \(Q\), \(S\)\(3\,V I\cos\varphi\) (kW), \(3\,V I\sin\varphi\) (kvar), \(3\,V I\) (kVA) : Boucherot, trois fois une phase. Sur la figure : la ligne du haut de la figure des wattmètres.
\(W_1\), \(W_2\)Les deux lectures de wattmètres, les moyennes de \(p_1=u_{13}\,i_1\) et \(p_2=u_{23}\,i_2\) : \(U I\cos(\varphi-\pi/6)\) et \(U I\cos(\varphi+\pi/6)\) ; à chaque instant \(p_1+p_2=P\). \(P=W_1+W_2\), \(Q=\sqrt{3}\,(W_1-W_2)\). Sur la figure : la figure « les wattmètres », le montage et ses deux lectures ; le sens inverse part des deux lectures.
\(\omega t\)L'instant, en degrés sur une période (\(120°\) = un tiers de période, \(6{,}67\) ms). Sur la figure : le bouton « ωt : l'instant », son curseur, et ▶.
Champ tournantLa résultante des trois courants \(i_k(t)\) portés par trois axes à \(120°\) : un vecteur de module constant \(\frac{3}{2}\,I\sqrt{2}\) qui tourne à \(\omega\). Sur la figure : la figure « le champ » et son curseur d'angle de vue.
Étoile, triangle, neutreen étoile, chaque branche relie un fil de phase au point neutre ; en triangle, chaque branche relie deux fils de phase. Le neutre est le point commun des trois tensions simples.
Kennellyl'équivalence d'une charge équilibrée en triangle et en étoile : l'étoile d'impédance \(\overline{Z}_Y=\overline{Z}_\Delta/3\) appelle les mêmes courants de ligne, sous le même déphasage.
Wattmètreun appareil qui lit la moyenne du produit d'une tension par un courant, en watts : une bobine de courant dans un fil, une bobine de tension entre deux points.
Plaque d'un moteurles valeurs assignées d'un moteur : tension, puissance utile sur l'arbre, facteur de puissance, rendement ; il absorbe \(P=P_u/\eta\).

Les définitions

Système triphasé équilibré direct : trois tensions simples de même valeur efficace \(V\), \(v_k(t)=V\sqrt{2}\cos(\omega t-\theta_k)\) avec \(\theta_k=(k-1)\,2\pi/3\), soit \(\overline{V}_1=V\), \(\overline{V}_2=V e^{-j2\pi/3}\), \(\overline{V}_3=V e^{+j2\pi/3}\) : la phase 2 est en retard de \(120°\) sur la phase 1, la phase 3 en avance de \(120°\). Leur somme est nulle. Convention de la famille : \(V\) est la tension simple (entre un fil et le neutre), \(U\) la tension composée (entre deux fils), \(j\) l'unité imaginaire.
Tension composée : \(\overline{U}_{12}=\overline{V}_1-\overline{V}_2\), \(\overline{U}_{23}=\overline{V}_2-\overline{V}_3\), \(\overline{U}_{31}=\overline{V}_3-\overline{V}_1\). Une différence de deux phaseurs de même module à \(120°\) : module \(U=\sqrt{3}\,V\), argument en avance de \(30°\) sur le premier. \(\overline{U}_{12}=\sqrt{3}\,V e^{j\pi/6}\), \(\overline{U}_{23}=\sqrt{3}\,V e^{-j\pi/2}\), \(\overline{U}_{31}=\sqrt{3}\,V e^{j5\pi/6}\). Et \(\overline{U}_{13}=-\overline{U}_{31}\).
Étoile et triangle : une charge équilibrée est faite de trois branches identiques d'impédance \(\overline{Z}\). En étoile, chaque branche est entre un fil et le neutre : elle voit \(V\), et le courant de ligne est le courant de branche, \(I=J=V/|\overline{Z}|\). En triangle, chaque branche est entre deux fils : elle voit \(U\), \(\overline{J}_{12}=\overline{U}_{12}/\overline{Z}\), et le courant de ligne est une différence de deux courants de branche, \(\overline{I}_1=\overline{J}_{12}-\overline{J}_{31}\) : \(I=\sqrt{3}\,J\), en retard de \(30°\) sur \(\overline{J}_{12}\). Kennelly : la même charge en étoile demande \(\overline{Z}_Y=\overline{Z}_\Delta/3\).
Déphasage par phase : \(\varphi=\arg\overline{V}_1-\arg\overline{I}_1=\arg\overline{Z}\), le même en étoile et en triangle, et pour les trois phases. C'est l'angle entre une tension simple et le courant de ligne de la même phase, jamais entre \(\overline{U}\) et \(\overline{I}\). \(\varphi>0\) : courant en retard, charge inductive ; \(\varphi<0\) : en avance, capacitive.
Les théorèmes à citer
D'où vient le √3 : \(\overline{V}_1-\overline{V}_2=V\left(1-e^{-j2\pi/3}\right)\), soit \(V\left(1+\dfrac{1}{2}+j\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), donc \(V\left(\dfrac{3}{2}+j\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\). Module \(V\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{3}\,V\), argument \(\arctan\dfrac{\sqrt{3}/2}{3/2}=30°\), car \(\tan30°=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Par la géométrie : le triangle \((0,\overline{V}_1,\overline{U}_{12})\) a deux côtés \(V\) et un angle de \(120°\) entre eux, donc \(U=2V\cos30°\).
Boucherot en triphasé équilibré : trois phases identiques, donc \(P=3\,V I\cos\varphi\), \(Q=3\,V I\sin\varphi\), \(S=3\,V I\), avec \(\varphi\) l'angle par phase, \((\overline{V}_1,\overline{I}_1)\). Avec \(V=U/\sqrt{3}\) : \(P=\sqrt{3}\,U I\cos\varphi\), \(Q=\sqrt{3}\,U I\sin\varphi\), \(S=\sqrt{3}\,U I\). Ces écritures valent en étoile comme en triangle, \(I\) étant le courant de ligne. Par branche : \(P=3\,R_{br}J^2\) et \(Q=3\,X_{br}J^2\) pour trois branches série \(R_{br}+jX_{br}\).
Les deux wattmètres (convention de ce cours) : \(W_1\) a sa bobine de courant dans le fil 1 et sa bobine de tension entre les fils 1 et 3 ; \(W_2\), le fil 2 et la tension entre 2 et 3. Chacun lit la moyenne de \(u(t)\,i(t)\). L'outil : le conjugué retourne l'argument du courant, \(\overline{U}\,\overline{I}^*=U I\,e^{j(\alpha-\beta)}\), dont la partie réelle est \(U I\cos(\alpha-\beta)\) ; sans le conjugué on lirait \(\cos(\alpha+\beta)\). D'où \(W_1=\mathrm{Re}\left(\overline{U}_{13}\,\overline{I}_1^*\right)\), soit \(U I\cos(\varphi-\pi/6)\) ; \(W_2=\mathrm{Re}\left(\overline{U}_{23}\,\overline{I}_2^*\right)\), soit \(U I\cos(\varphi+\pi/6)\). Comme \(\cos(a-b)+\cos(a+b)\) vaut \(2\cos a\cos b\) et \(\cos(a-b)-\cos(a+b)\) vaut \(2\sin a\sin b\) : \(W_1+W_2=\sqrt{3}\,U I\cos\varphi=P\) et \(W_1-W_2=U I\sin\varphi=Q/\sqrt{3}\). Deux lectures donnent \(P\), \(Q\), donc \(\tan\varphi=\sqrt{3}\,\dfrac{W_1-W_2}{W_1+W_2}\). Hypothèses : réseau direct (en inverse, \(W_1\) et \(W_2\) s'échangent) et charge équilibrée ; sur trois fils avec une charge déséquilibrée, \(P=W_1+W_2\) reste vrai, pas \(Q=\sqrt{3}\,(W_1-W_2)\).
Le champ tournant : trois bobines dont les axes sont à \(120°\), parcourues par \(i_k(t)=I\sqrt{2}\cos(\omega t-\theta_k)\), \(\theta_k=(k-1)\,2\pi/3\), créent une induction proportionnelle à \(\sum_k i_k(t)\,\vec{e}_k\). Avec \(2\cos a\cos b\) écrit \(\cos(a-b)+\cos(a+b)\), les termes en \(2\omega t\) s'annulent par trois : il reste un vecteur de module constant \(\frac{3}{2}\,I\sqrt{2}\) qui tourne à \(\omega\), de la bobine 1 vers la bobine 2. C'est la raison d'être du triphasé et le début de la machine synchrone.
Pourquoi c'est utile

À tension simple et courant par fil égaux, le triphasé transporte trois fois la puissance d'une ligne monophasée avec trois fils au lieu de deux, sa puissance instantanée totale est constante, et trois courants décalés d'un tiers de période font un champ qui tourne tout seul : tous les moteurs d'une usine en vivent. Le calcul, lui, se ramène toujours à une phase : un phaseur, une différence de phaseurs pour passer du simple au composé ou de la branche à la ligne (√3 et 30°, à chaque fois), puis Boucherot multiplié par trois. Deux wattmètres suffisent à mesurer \(P\) sans accéder au neutre, et \(Q\) si la charge est équilibrée : c'est ce qu'on trouve sur un tableau.

Le fil de la notion
Avant cette notion :Complexes et phaseurs : le régime sinusoïdal sans équation différentielleInstallation monophasée : courants, Boucherot, ligne et compensationCercle trigonométrique, radian, cos et sinChamp magnétique
Le chapitre :1 · Phaseurs2 · Monophasé3 · Triphasé4 · Induction et circuits magnétiques5 · Machine synchrone6 · Transformateur

Tu as déjà vu cette idée : trois phaseurs à 120°, ce sont trois points placés à un tiers de tour l'un de l'autre sur le cercle. Cercle trigonométrique, radian, cos et sin

Tu as déjà vu cette idée : trois flèches ajoutées coordonnée par coordonnée peuvent donner le vecteur nul. Vecteurs

Recommencer cette notion ? Sur cet appareil, la page oublie où tu en étais dans cette notion : les étapes du fil, ta phrase, les onglets cochés. Ce que tu as déjà réussi reste compté, et tes rappels restent prévus.

Comment je fais ?

Aster : avant chaque étape, dis ce que tu ferais. Pourquoi ce conseil

Te tromper, puis lire la bonne réponse, t'apprend plus que lire d'abord.

Les étapes
  1. Poser les tensions : \(\overline{V}_1=V\), \(\overline{V}_2=V e^{-j2\pi/3}\), \(\overline{V}_3=V e^{+j2\pi/3}\) ; les composées par différence, \(\overline{U}_{12}=\sqrt{3}\,V e^{j\pi/6}\), puis \(-90°\) et \(+150°\) pour \(\overline{U}_{23}\) et \(\overline{U}_{31}\).
  2. Choisir ce que voit une branche : \(V\) en étoile, \(U\) en triangle. Courant de branche \(\overline{J}=\overline{V}/\overline{Z}\) ou \(\overline{U}/\overline{Z}\) ; \(\varphi=\arg\overline{Z}\).
  3. Passer de la branche à la ligne : en étoile \(I=J\) ; en triangle \(\overline{I}_1=\overline{J}_{12}-\overline{J}_{31}\), \(I=\sqrt{3}\,J\), retard de \(30°\) sur \(\overline{J}_{12}\). Dans les deux cas \(\overline{I}_1=I e^{-j\varphi}\).
  4. Boucherot : \(P=3\,V I\cos\varphi=\sqrt{3}\,U I\cos\varphi\), \(Q=3\,V I\sin\varphi\), \(S=3\,V I\) ; \(\varphi\) par phase, entre \(\overline{V}_1\) et \(\overline{I}_1\).
  5. Mesurer avec deux wattmètres : \(W_1=U I\cos(\varphi-\pi/6)\), \(W_2=U I\cos(\varphi+\pi/6)\) ; \(P=W_1+W_2\), \(Q=\sqrt{3}\,(W_1-W_2)\) ; \(W_1< W_2\) : capacitif.
  6. Contrôler : la même charge passée de triangle en étoile divise \(I\) et \(P\) par 3 ; \(S=\sqrt{P^2+Q^2}=3\,V I\) ; \(\overline{U}_{12}+\overline{U}_{23}+\overline{U}_{31}=0\).
Exercice corrigé · exemple du cours

Un moteur en triangle sur 400 V

Un moteur est modélisé par trois branches identiques \(R=30\) Ω, \(X_L=20\) Ω en série, couplées en triangle sur un réseau \(230\) V / \(400\) V (\(V=230\) V, \(U=\sqrt{3}\,V=398{,}4\) V), 50 Hz, direct. Donner les tensions, le courant de branche, le courant de ligne, les puissances, les deux lectures de wattmètres ; puis dire ce qui change si les trois branches sont couplées en étoile. Les résultats sont calculés avec les valeurs exactes ; en refaisant à la main avec les intermédiaires arrondis, le dernier chiffre peut différer d'une unité.

À toi, tout seul

Trois impédances en étoile

Trois impédances identiques \(R=12\) Ω, \(X_L=9\) Ω en série sont couplées en étoile sur le réseau \(230\) V / \(400\) V (\(V=230\) V, \(U=\sqrt{3}\,V=398{,}4\) V), direct. Même méthode : ce que voit une branche, \(\overline{J}=\overline{V}/\overline{Z}\), \(I=J\) en étoile, Boucherot, les deux wattmètres. Réponds, puis vérifie : chaque question a deux indices, le second s'ouvre après un essai.

Est-ce que j’y arrive ?

Aster : pose chaque calcul seul, puis compare avec la correction. Pourquoi ce conseil

Écrire ta réponse avant de la lire t'oblige à choisir la méthode, comme le jour du DS. Passe d'un type d'exercice à l'autre plutôt que de refaire le même. Aster te redonnera cette notion, espacée, dans Aujourd'hui : refais-la alors sans la correction.

Encore plus · les réflexes du DS

Est-ce que je sais faire seul, sur un problème nouveau ?

Aster : fais tout le sujet, puis corrige-toi honnêtement. Pourquoi ce conseil

Se tester apprend plus que relire. Pour chaque erreur, repère l'étape qui a manqué : c'est plus utile que la note.

  1. Lis tout le sujet avant d’écrire.
  2. Commence par ce que tu sais faire.
  3. Si tu bloques plus de 5 min, passe et reviens.

Examen de la notion · calculatrice autorisée

Comme le jour J : 45 min45:00

Un atelier triphasé

Un atelier est alimenté par un réseau triphasé équilibré direct \(230\) V / \(400\) V (\(V=230\) V, \(U=\sqrt{3}\,V=398{,}4\) V, \(U^2=158\,700\) V²), 50 Hz, \(v_1\) origine des phases. Sa charge est faite de trois groupes identiques couplés en triangle : chacun, une résistance de chauffage \(R=15\) Ω en parallèle avec un condensateur de réactance \(X_C=\dfrac{1}{C\omega}=20\) Ω. Deux wattmètres sont montés comme dans le cours : \(W_1\) dans le fil 1 avec la tension \(u_{13}\), \(W_2\) dans le fil 2 avec \(u_{23}\). On donne \(\sqrt{3}=1{,}732\), \(\arctan0{,}75=36{,}9°\), \(\cos36{,}9°=0{,}8\) et \(\sin36{,}9°=0{,}6\).

  1. Écrire \(\overline{V}_1\), \(\overline{V}_2\), \(\overline{V}_3\), puis \(\overline{U}_{12}\), \(\overline{U}_{23}\), \(\overline{U}_{31}\) (module et argument). Décrire le diagramme de Fresnel des tensions et justifier \(U=\sqrt{3}\,V\) par la géométrie.
  2. Admittance d'une branche \(\overline{Y}=1/R+jC\omega\) : module et argument. Courant de branche \(\overline{J}_{12}\) : module \(J\), argument.
  3. Courant de ligne \(\overline{I}_1=\overline{J}_{12}-\overline{J}_{31}\) : module \(I\), argument, et le déphasage \(\varphi=\arg\overline{V}_1-\arg\overline{I}_1\) (en degrés, arrondi à 0,1). La charge est-elle inductive ou capacitive ?
  4. Boucherot : \(P\), \(Q\), \(S\) et \(\cos\varphi\). Vérifier \(S=3\,V I\).
  5. Lectures \(W_1\) et \(W_2\), à partir de \(P\) et \(Q\) puis par \(U I\cos(\varphi\mp30°)\). Lequel est le plus grand, et pourquoi ? Que lirait-on si les condensateurs étaient débranchés ?
  6. Les trois mêmes groupes sont couplés en étoile. Nouveaux \(I\), \(P\), \(Q\). Quelle impédance en étoile donnerait les courants de ligne de la question 3 (Kennelly) ?