Mathématiques
Fonction logarithme népérien (Tle)
Pourquoi ça existe ?
Avant d’entrer
Ce que cette notion ajoute. L'exponentielle partait d'un exposant et donnait un nombre. Ici, on fait le chemin inverse : on part du nombre et on retrouve l'exposant, ce qui permet enfin de calculer un temps de seuil sans tâtonner.
Le problème. Une vidéo a 1 000 vues, et ce nombre double chaque jour. Dans combien de jours atteindra-t-elle le million ?
À ton avis
En 3 jours, la vidéo passe de 1 000 à 8 000 vues. Pour passer de 8 000 à 64 000, il lui faudra…
À essayer : au compteur, avance d'un cran à la fois, et regarde de combien monte le point. Dans le miroir, place le point en 1, puis en 0,5 : le logarithme devient négatif. Sur la pente, compare les points 1 et 8 : ln monte toujours, de plus en plus lentement.
Retrouver un exposant : la fonction ln, ses règles de calcul, et les équations qu'elle permet de résoudre.
La formule, symbole par symbole
\(\displaystyle 1\,000 \times 2^{n} = 1\,000\,000\)
\(\displaystyle \ln\left(2^{n}\right) = n \times \ln 2\)
Touche chaque morceau pour lire ce qu’il veut dire.
Tous les symboles
| \(1\,000\) | le nombre de vues au départ |
| \(2\) | ce qui se passe chaque jour : le nombre de vues est multiplié par 2 |
| \(n\) | le nombre de jours, donc de doublements : c'est l'inconnue, et elle est placée en exposant |
| \(2^{n}\) | n multiplications par 2 : ce par quoi le nombre de vues a été multiplié au bout de n jours |
| \(1\,000\,000\) | la cible : mille fois le nombre de départ |
| \(\ln\) | le logarithme népérien : la fonction qui défait l'exponentielle. \(\ln x\) est l'exposant qu'il faut donner à e pour obtenir x |
| \(\ln\left(2^{n}\right)\) | le logarithme du nombre obtenu après n doublements : la hauteur atteinte sur le compteur |
| \(n \times \ln 2\) | n marches égales : chaque doublement ajoute \(\ln 2 \approx 0{,}693\). L'exposant est descendu devant : c'est ce qui permettra de le calculer |
L'image mentale
Le miroir de l'exponentielle
Prends la courbe de eˣ et regarde-la dans le miroir de la droite y = x : c'est ln. Tout ce que l'exponentielle fait, le logarithme le défait : exp(ln x) = x, ln(eˣ) = x. Et chaque multiplication par 2 fait monter ln de la même marche, ln 2 ≈ 0,69 : ln compte les multiplications, il change les produits en sommes. Ce que l'image capture : la réciprocité et la règle ln(ab) = ln a + ln b.
Où elle s'arrête. Le miroir ne dit pas que ln est lent mais non borné, cela se prouve, ln x dépasse tout plafond ; et il ne dit rien de la dérivée 1/x, qui vient du calcul.
Aster : fais parler la figure avant de lire les définitions. Pourquoi ce conseil
Ce que tu auras vu de tes yeux, le texte ne fera que le nommer.
Les définitions
Ce qui est toujours vrai
Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes : il change les multiplications en additions, et une puissance en multiplication par son exposant.
L’énoncé exact
Produit en somme : pour a, b > 0, \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(a/b) = \ln a - \ln b\), \(\ln(a^n) = n\ln a\) pour n entier. La somme n'a pas de formule : \(\ln(a+b)\) ne se découpe pas.
Pour faire sortir une inconnue d'un exposant, on prend le logarithme des deux côtés : c'est permis, parce que deux nombres positifs sont égaux exactement quand leurs logarithmes le sont.
L’énoncé exact
Équations : pour a, b > 0, \(\ln a = \ln b \Leftrightarrow a = b\) et \(\ln a < \ln b \Leftrightarrow a < b\). Pour \(K > 0\) : \(e^{x} = K \Leftrightarrow x = \ln K\), et pour \(k \neq 0\), \(e^{kt} = K \Leftrightarrow t = \dfrac{\ln K}{k}\) ; pour \(q > 0\), \(q \neq 1\), \(q^{n} = K \Leftrightarrow n = \dfrac{\ln K}{\ln q}\). Si \(K \leq 0\), l'équation \(e^{x} = K\) n'a pas de solution.
Le logarithme monte toujours, de moins en moins vite, sans jamais plafonner ; et il reste bien plus lent que x lui-même.
L’énoncé exact
Étude : ln est dérivable sur \(]0 ; +\infty[\), \(\ln'(x) = \dfrac{1}{x} > 0\) : strictement croissante, concave. \(\lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty\), \(\lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty\), et \(\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0\).
Recommencer cette notion ? Sur cet appareil, la page oublie où tu en étais dans cette notion : les étapes du fil, ta phrase, les onglets cochés. Ce que tu as déjà réussi reste compté, et tes rappels restent prévus.
Comment je fais ?
Aster : avant chaque étape, dis ce que tu ferais. Pourquoi ce conseil
Te tromper, puis lire la bonne réponse, t'apprend plus que lire d'abord.
Les étapes, en bref
- Ce qu'on demande d'abord : l'inconnue est dans un exposant, et seul compte le nombre par lequel on multiplie. Isoler l'exponentielle, puis passer au ln : \(e^{u} = k\) avec \(k > 0\) donne \(u = \ln k\). Si \(k \leq 0\), pas de solution : une exponentielle est toujours positive.
- Selon la question, compter des multiplications : \(\ln(2^n) = n\ln 2\). Pour savoir combien de doublements mènent de 500 à 4 000, calcule \(\ln 8 / \ln 2 = 3\) ; pour un autre coefficient q, \(q^{n} = K\) donne \(n = \dfrac{\ln K}{\ln q}\).
- Selon la question, une durée : \(e^{kt} = K\) donne \(kt = \ln K\), donc \(t = \dfrac{\ln K}{k}\). Diviser une grandeur par 2 prend toujours le même temps, \(\dfrac{\ln 2}{|k|}\) ; la diviser par 16 en prend quatre fois plus.
- Contrôle : remplace dans l'équation de départ — \(e^{\ln k} = k\) se vérifie à la calculatrice en dix secondes. Pour un seuil à dépasser, compté en pas entiers, arrondis à l'entier du dessus.
Est-ce que j’y arrive ?
Aster : pose chaque calcul seul, puis compare avec la correction. Pourquoi ce conseil
Écrire ta réponse avant de la lire t'oblige à choisir la méthode, comme le jour de l'examen. Passe d'un type d'exercice à l'autre plutôt que de refaire le même. Aster te redonnera cette notion, espacée, dans Aujourd'hui : refais-la alors sans la correction.
À toi · le même problème, d'autres nombres
Les bactéries
Une culture compte 500 bactéries, et ce nombre double toutes les 3 heures. 1) le nombre de doublements qu'il faut pour atteindre 20 000 bactéries ; 2) la durée correspondante, en heures ; 3) une seconde souche, partie elle aussi de 500 bactéries, augmente de 30 % par heure : la durée qu'il lui faut pour atteindre 20 000.
Varier les exercices
Les réflexes de l’examen
Est-ce que je sais faire seul, sur un problème nouveau ?
Aster : fais tout le sujet, puis corrige-toi honnêtement. Pourquoi ce conseil
Se tester apprend plus que relire. Pour chaque erreur, repère l'étape qui a manqué : c'est plus utile que la note.
- Lis tout le sujet avant d’écrire.
- Commence par ce que tu sais faire.
- Si tu bloques plus de 3 min, passe et reviens.
Examen de la notion · calculatrice autorisée
L'épargne et le carbone 14
- On place 5 000 € à 3 % par an : chaque année, le capital est multiplié par 1,03. Au bout de combien d'années entières dépasse-t-il 8 000 € pour la première fois ?
- Le capital continue de grandir au même rythme. Combien d'années lui faut-il pour passer de 8 000 € à 12 800 € ? Donner la durée à 0,1 près, sans l'arrondir à l'entier.
- Dans un os, la quantité de carbone 14 diminue avec le temps : au bout de t années, il en reste la fraction \(e^{-0{,}000121\,t}\). Dans un os retrouvé sur un chantier, il n'en reste que 25 %. Quel est l'âge de cet os ? Arrondir à la dizaine d'années.
- Au bout de combien d'années la quantité de carbone 14 d'un os est-elle divisée par 2 ? Arrondir à la dizaine d'années.
- Un élève écrit : \(\ln 8\,000 = \ln 5\,000 + \ln 3\,000\). A-t-il raison ? Justifier.
Et ailleurs ?
Où retrouve-t-on cette idée ?
Partout la même idée : quand une grandeur avance par multiplications, on la mesure en comptant ces multiplications, et c'est le logarithme qui les compte.
- Les décibels. Le niveau sonore est un logarithme de l'intensité du son : \(L = 10\log\dfrac{I}{I_0}\), où log est le logarithme décimal, \(\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}\). Multiplier l'intensité par 10 ajoute 10 dB, comme chaque doublement ajoutait une marche au compteur. Cela explique que deux enceintes identiques ne fassent pas « deux fois plus de décibels » qu'une seule : doubler l'intensité n'ajoute que 3 dB. Niveau d'intensité sonore (Tle)
- Le pH. Le pH est, au signe près, le logarithme décimal de la concentration des ions qui font l'acidité. Une unité de pH en moins, c'est une concentration multipliée par 10. Cela explique qu'un jus de citron de pH 2 soit mille fois plus acide qu'un café de pH 5, et non deux fois et demie : trois unités d'écart, trois multiplications par 10. Acide, base et pH (Tle)
- La demi-vie. Le nombre de noyaux d'un échantillon radioactif suit \(N_0\,e^{-\lambda t}\). Chercher quand il est divisé par 2, c'est résoudre \(e^{-\lambda t} = \dfrac12\), exactement comme pour ta vidéo qui s'essouffle : \(t = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\). Cela explique le \(\ln 2\) qui figure dans toutes les formules de demi-vie. Décroissance radioactive