Mathématiques
Proportionnalité : coefficient, tableau, graphique (5ᵉ)
Pourquoi ça existe ?
Avant d’entrer
Ce que cette notion ajoute. En 6e, tu doubles, tu triples, tu reviens au prix d'un seul objet. Ici, tout tient dans un seul nombre, le coefficient : il complète n'importe quel tableau, dans les deux sens, et il se voit sur un graphique, une droite qui passe par l'origine.
Le problème. Au marché, 3 kg de pommes coûtent 7,20 €. Combien paieras-tu pour 5 kg, puis pour 8 kg ?
À ton avis
2 kg de clémentines coûtent 6 €. Combien paies-tu pour 5 kg ?
À essayer : fais descendre la masse jusqu'à 1 kg, puis ajoute une colonne ; sur le graphique, redresse la droite ; enfin, fais tourner la règle sur les tailles d'un enfant.
3 kg coûtent 7,20 €. Et 5 kg ? Et 8 kg ? Faut-il tout recalculer à chaque fois ?
La formule, symbole par symbole
\(\displaystyle \text{prix} = k \times \text{masse}\)
Touche chaque morceau pour lire ce qu’il veut dire.
Tous les symboles
| \(\text{prix}\) | ce que tu paies, en euros : la grandeur qu'on cherche |
| \(=\) | les deux côtés valent la même chose : connaître l'un, c'est connaître l'autre |
| \(k\) | le coefficient de proportionnalité : le prix d'un kilo, toujours le même. C'est lui qu'on cherche en premier |
| \(\times\) | on multiplie : chaque kilo coûte le même prix, alors on compte ce prix autant de fois qu'il y a de kilos |
| \(\text{masse}\) | ce que tu achètes, en kilos : la grandeur qu'on connaît |
L'image mentale
Toujours le même coefficient
Dans le tableau, on passe de la ligne du haut à celle du bas en multipliant toujours par le même nombre : 4 € par kilo. Ce nombre, c'est le coefficient. On peut aussi additionner deux colonnes (2 kg + 5 kg = 7 kg, donc 8 € + 20 € = 28 €) : le tableau respecte les additions. Et la colonne de l'unité (1 kg → 4 €) suffit à tout reconstruire.
Où elle s'arrête. Le « × 4 » et l'addition des colonnes ne tiennent que si chaque kilo coûte toujours 4 € : avec un sac payé en plus ou un prix réduit au-delà de 5 kg, aucun nombre unique ne fait plus passer d'une ligne à l'autre.
Aster : tu devines d'abord, puis tu touches la figure avant de lire. Pourquoi ce conseil
Fais glisser la masse, puis redresse la droite, avant de lire les définitions. Ce que tu auras vu de tes yeux, le texte ne fera que le nommer.
Les définitions
Ce qui est toujours vrai
Dans un tableau de proportionnalité, on fabrique une colonne nouvelle avec celles qu'on a déjà : on en additionne deux, ou on en multiplie une. Penses-y quand la quantité demandée se compose avec des quantités dont tu connais déjà le prix.
L’énoncé exact
Linéarité : dans un tableau de proportionnalité, la somme de deux colonnes est encore une colonne du tableau, et une colonne multipliée par un nombre aussi. Si \(2\) kg coûtent \(8\) € et \(5\) kg \(20\) €, alors \(7\) kg coûtent \(8+20=28\) €, et \(10\) kg coûtent \(2\times20=40\) €.
Pour savoir si un tableau est de proportionnalité, on divise chaque valeur du bas par celle du haut : si tous les quotients sont égaux, il l'est. Penses-y dès qu'on te demande « est-ce proportionnel ? » : un seul quotient différent suffit pour répondre non.
L’énoncé exact
Quotients égaux : un tableau à deux lignes est un tableau de proportionnalité si, et seulement si, les quotients d'une valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première, non nulle, sont tous égaux. Ce quotient commun est le coefficient.
Sur un graphique, la proportionnalité se reconnaît à deux choses à la fois : les points sont sur une même droite, et cette droite passe par l'origine. Penses-y quand on te donne un graphique plutôt qu'un tableau, et vérifie les deux.
L’énoncé exact
Graphique : une situation de proportionnalité est représentée par des points alignés avec l'origine du repère. Des points alignés sur une droite qui ne passe pas par l'origine ne traduisent pas une proportionnalité.
Tu as déjà vu cette idée : la masse volumique est un coefficient de proportionnalité, ce que pèse un centimètre cube, comme le prix d'un kilo. Masse volumique
Recommencer cette notion ? Sur cet appareil, la page oublie où tu en étais dans cette notion : les étapes du fil, ta phrase, les onglets cochés. Ce que tu as déjà réussi reste compté, et tes rappels restent prévus.
Comment je fais ?
Aster : avant chaque étape, dis ce que tu ferais. Pourquoi ce conseil
Te tromper, puis lire la bonne réponse, t'apprend plus que lire d'abord.
Les étapes, en bref
- Ce qui est toujours vrai : deux grandeurs sont proportionnelles quand un même nombre, le coefficient, fait passer de l'une à l'autre. On le trouve en divisant une valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première : le prix par la masse.
- Selon la question, compléter : multiplier par le coefficient, additionner deux colonnes, ou multiplier une colonne. Dans l'autre sens, du prix vers la masse, on divise par le coefficient.
- Selon la question, contrôler : dans un tableau, tous les quotients sont égaux ; sur un graphique, les points sont alignés avec l'origine.
- Ne pas confondre : ajouter le même nombre aux deux lignes n'est pas multiplier ; et un prix fixe payé en plus, une livraison ou un abonnement, casse la proportionnalité.
Est-ce que j’y arrive ?
Aster : pose chaque calcul seul, puis compare avec la correction. Pourquoi ce conseil
Écrire ta réponse avant de la lire t'oblige à choisir la méthode, comme le jour de l'examen. Passe d'un type d'exercice à l'autre plutôt que de refaire le même. Aster te redonnera cette notion, espacée, dans Aujourd'hui : refais-la alors sans la correction.
À toi · le même problème, d'autres nombres
Les abricots
Au marché, \(4\) kg d'abricots coûtent \(14\) €. Même question que pour les pommes, avec d'autres nombres :
Varier les exercices
Les réflexes de l’examen
Est-ce que je sais faire seul, sur un problème nouveau ?
Aster : fais tout le sujet, puis corrige-toi honnêtement. Pourquoi ce conseil
Se tester apprend plus que relire. Pour chaque erreur, repère l'étape qui a manqué : c'est plus utile que la note.
- Lis tout le sujet avant d’écrire.
- Commence par ce que tu sais faire.
- Si tu bloques plus de 3 min, passe et reviens.
Examen de la notion · sans calculatrice
Les crêpes de la fête
- Pour la fête du collège, une recette demande \(300\) g de farine pour \(12\) crêpes. Quelle masse de farine faut-il pour \(30\) crêpes, en grammes ?
- Avec un paquet de \(1\) kg de farine, combien de crêpes peut-on préparer ?
- Au stand, une affiche annonce : \(2\) crêpes, \(3\) € ; \(4\) crêpes, \(6\) € ; \(10\) crêpes, \(12\) €. Le prix est-il proportionnel au nombre de crêpes ? Justifier.
- Pour louer une crêpière, un magasin demande \(10\) € de frais fixes, puis \(4\) € par heure. Combien coûtent \(3\) heures de location, en euros ?
- Un autre magasin loue la même crêpière \(6\) € par heure, sans frais fixes. Dans lequel des deux magasins le prix est-il proportionnel à la durée ? Justifier.
Et ailleurs ?
Où retrouve-t-on cette idée ?
Deux grandeurs proportionnelles : un seul nombre fait passer de l'une à l'autre, et sur un graphique la droite passe par l'origine.
- La loi d'Ohm. Aux bornes d'une résistance, la tension est proportionnelle à l'intensité, et le coefficient s'appelle la résistance. Cela donne un test : on trace la tension selon l'intensité. Une droite qui passe par l'origine ? C'est une résistance. Pour une lampe, la courbe se tord : plus de coefficient unique. Résistance et loi d'Ohm
- Reconnaître une matière. Pour une même matière, la masse est proportionnelle au volume, et le coefficient s'appelle la masse volumique. Voilà pourquoi on reconnaît un métal sans regarder la taille du morceau : petit ou gros, le quotient de la masse par le volume est le même, comme le prix au kilo ne dépend pas du poids du sac. Masse volumique
- La vitesse. À vitesse constante, la distance est proportionnelle à la durée, et le coefficient est la vitesse. « 80 km/h » se lit comme une colonne de l'unité : 80 km pour 1 h. C'est ce qui permet d'annoncer une heure d'arrivée avant d'être parti. Mouvement et vitesse