Mathématiques
Théorème de Pythagore (4ᵉ)
Pourquoi ça existe ?
Avant d’entrer
Le problème. Ton drone vole 48 m au-dessus d'un arbre, à 20 m de toi. Ta télécommande porte à 60 m : capte-t-il ?
À ton avis
Un cas plus simple d'abord. Deux côtés de 3 cm et 4 cm forment un angle droit. Le troisième côté mesure :
À essayer : remplis le grand carré ; tire le sommet B ; pousse A sur le côté et regarde l'égalité casser ; ramène A à 90°.
Deux côtés d'un angle droit sont connus : comment trouver le troisième, sans le mesurer ?
La formule, symbole par symbole
\(\displaystyle c^2 = a^2 + b^2\)
Touche chaque morceau pour lire ce qu’il veut dire.
Tous les symboles
| \(c^2\) | l'aire du carré posé sur c, le côté en face de l'angle droit |
| \(=\) | a exactement la même aire que… |
| \(a^2\) | l'aire du carré posé sur a, un des deux côtés qui forment l'angle droit |
| \(+\) | … celle-ci, ajoutée à la suivante : ce sont les aires des carrés qui s'ajoutent, pas les longueurs des côtés |
| \(b^2\) | l'aire du carré posé sur b, l'autre côté de l'angle droit |
L'image mentale
Trois carrés, une égalité
Sur chaque côté du triangle 6-8-10, on construit un carré : 36, 64 et 100 unités d'aire. Une fois découpés, les deux petits carrés remplissent exactement le grand.
Où elle s'arrête. Le découpage ne tombe juste que si l'angle est droit : ouvre l'angle, et le grand carré dépasse 36 + 64 ; ferme-le, et il reste plus petit.
Aster : tire les sommets, ouvre et ferme l'angle, avant de lire les définitions. Pourquoi ce conseil
Ce que tu auras vu de tes yeux, deux carrés qui en remplissent un troisième et une égalité qui casse dès que l'angle n'est plus droit, le texte ne fera que le nommer.
Les définitions
Ce qui est toujours vrai
Dans un triangle rectangle, le carré construit sur l'hypoténuse a exactement l'aire des deux autres carrés réunis : ce sont les aires qui s'ajoutent, jamais les longueurs. Penses-y dès qu'on cherche une distance en biais à partir de deux distances perpendiculaires.
L’énoncé exact
Théorème de Pythagore : si un triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), alors \(BC^2 = AB^2 + AC^2\). Pour un côté de l'angle droit, on isole son carré : \(AC^2 = BC^2 - AB^2\).
L'égalité marche dans les deux sens : si elle tient, l'angle est droit ; si elle ne tient pas, il ne l'est pas. Penses-y pour vérifier un angle droit avec un simple mètre ruban, sans équerre.
L’énoncé exact
Réciproque : si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle, et l'angle droit est en face du plus grand côté. Contraposée : si cette égalité est fausse, le triangle n'est pas rectangle.
L'égalité donne le carré d'une longueur, pas la longueur : il reste à prendre sa racine carrée, le nombre qui, multiplié par lui-même, redonne ce carré. Penses-y à la dernière ligne de chaque calcul.
L’énoncé exact
Si \(BC^2 = s\), avec \(s\) positif, alors \(BC = \sqrt{s}\). Quand ce nombre n'a pas d'écriture décimale simple, on en donne une valeur approchée, écrite avec \(\approx\) : \(\sqrt{13} \approx 3{,}61\).
Recommencer cette notion ? Sur cet appareil, la page oublie où tu en étais dans cette notion : les étapes du fil, ta phrase, les onglets cochés. Ce que tu as déjà réussi reste compté, et tes rappels restent prévus.
Comment je fais ?
Aster : avant chaque étape, dis ce que tu ferais. Pourquoi ce conseil
Te tromper, puis lire la bonne réponse, t'apprend plus que lire d'abord.
Les étapes, en bref
- Repérer l'angle droit, puis l'hypoténuse, le côté en face : elle est seule de son côté du signe égal.
- Selon la question, chercher l'hypoténuse : additionner les carrés des deux autres côtés, puis prendre la racine carrée.
- Selon la question, chercher un côté de l'angle droit : retrancher du carré de l'hypoténuse le carré de l'autre côté, puis prendre la racine carrée.
- Selon la question, vérifier un angle droit : comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres ; égalité, il est droit ; sinon, il ne l'est pas.
- Contrôler : l'hypoténuse est plus longue que chacun des deux autres côtés, et plus courte que leur somme ; une racine qui ne tombe pas juste s'écrit avec ≈.
Est-ce que j’y arrive ?
Aster : pose chaque calcul seul, puis compare avec la correction. Pourquoi ce conseil
Écrire ta réponse avant de la lire t'oblige à choisir la méthode, comme le jour de l'examen. Passe d'un type d'exercice à l'autre plutôt que de refaire le même. Aster te redonnera cette notion, espacée, dans Aujourd'hui : refais-la alors sans la correction.
À toi · le même problème, d'autres nombres
Le drone du stade
Au stade, ton drone vole 24 m au-dessus d'un poteau de corner, à 18 m de toi. La télécommande porte à 40 m. Comme pour le drone au-dessus de l'arbre :
Varier les exercices
Les réflexes de l’examen
Est-ce que je sais faire seul, sur un problème nouveau ?
Aster : fais tout le sujet, puis corrige-toi honnêtement. Pourquoi ce conseil
Se tester apprend plus que relire. Pour chaque erreur, repère l'étape qui a manqué : c'est plus utile que la note.
- Lis tout le sujet avant d’écrire.
- Commence par ce que tu sais faire.
- Si tu bloques plus de 3 min, passe et reviens.
Examen de la notion · sans calculatrice
Au parc
- Une rampe de skate monte de 0,7 m sur une longueur au sol de 2,4 m. Quelle est la longueur de sa planche inclinée, en m ?
- Inès tient le fil tendu de son cerf-volant, long de 34 m. Son ami, à 16 m d'elle, est juste sous le cerf-volant. À quelle hauteur, au-dessus de la main d'Inès, vole-t-il, en m ?
- Un panneau d'affichage triangulaire a des côtés de 0,9 m, 4 m et 4,2 m. Si l'angle entre les côtés de 0,9 m et 4 m était droit, combien mesurerait le troisième côté, en m ? Le panneau a-t-il un angle droit ?
- Une pelouse rectangulaire mesure 40 m sur 25 m. Lina la traverse en ligne droite, d'un coin au coin opposé. Quelle distance parcourt-elle, en m, à 0,1 près ?
Et ailleurs ?
Où retrouve-t-on cette idée ?
Partout la même idée : deux grandeurs perpendiculaires, ou qui ne se gênent pas, se combinent par leurs carrés, jamais en s'ajoutant.
- Deux incertitudes. En physique, une mesure qui dépend de deux réglages indépendants, l'un sûr à 3 % près, l'autre à 4 % près, n'est pas sûre à 7 % près, mais à 5 % : les incertitudes indépendantes se composent comme les côtés d'un triangle rectangle, \(\sqrt{3^2+4^2}=5\). Cela explique pourquoi deux petites erreurs indépendantes pèsent moins qu'on ne le craint : elles ne vont pas toujours dans le même sens. Incertitudes (Tle)
- La puissance d'un atelier. En électricité, un atelier consomme une puissance active P, qui fait le travail, et une puissance réactive Q, qui sert à magnétiser ses moteurs. Elles sont « en quadrature », comme les deux côtés d'un angle droit : la puissance apparente que le réseau doit fournir vaut \(S=\sqrt{P^2+Q^2}\), pas P + Q. Cela explique pourquoi les câbles d'une usine se calculent sur S, plus grande que P mais plus petite que la somme des deux. Installation monophasée (école d'ingénieurs)