Mathématiques
Théorème de Thalès, réciproque, contraposée (3ᵉ)
Pourquoi ça existe ?
Avant d’entrer
Ce que cette notion ajoute. En 4e, la droite des milieux coupait un triangle à mi-hauteur : le petit triangle était le grand réduit de moitié. Ici, la parallèle passe où l'on veut : le petit triangle est une réduction, ou un agrandissement, de rapport quelconque, qui se lit dans n'importe quel rapport de longueurs. Et la réciproque fait l'inverse : deux rapports égaux prouvent que deux droites sont parallèles.
Le problème. Ton bâton de 1,5 m a 2 m d'ombre ; le pylône, 24 m. Sa hauteur ?
À ton avis
Plus simple d'abord : un bâton de 1 m a 2 m d'ombre ; au même instant, l'ombre d'un mât mesure 6 m. Hauteur du mât ?
À essayer : double la hauteur du bâton et regarde où le planter ; règle-le plus haut que le mât ; penche-le.
Comment mesurer la hauteur d'un pylône électrique sans y grimper ?
La formule, symbole par symbole
\(\displaystyle \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\)
Touche chaque morceau pour lire ce qu’il veut dire.
Tous les symboles
| \(AM\) | l'ombre du bâton : du bout des ombres, A, jusqu'au pied du bâton, M |
| \(AB\) | l'ombre du mât : de A jusqu'au pied du mât, B |
| \(=\) | le même rapport : chaque longueur du petit triangle est celle du grand, multipliée par ce même nombre |
| \(\dfrac{AN}{AC}\) | le même rapport, le long du rayon de soleil : de A jusqu'au haut du bâton, puis jusqu'au haut du mât |
| \(MN\) | la hauteur du bâton |
| \(BC\) | la hauteur du mât |
L'image mentale
Une réduction cachée dans l'ombre
Au même instant, le soleil envoie des rayons parallèles : chaque objet vertical a une ombre à la même échelle que lui. Plante un bâton dans l'ombre d'un mât, pour que les deux ombres finissent au même point : le triangle du bâton est une copie réduite de celui du mât, et toutes ses longueurs sont celles du grand, multipliées par le même nombre. C'est pourquoi le théorème de Thalès transforme une mesure facile en une longueur inaccessible. Ce que l'image capture : deux droites qui se coupent, deux parallèles qui les coupent, et un rapport qui se lit partout.
Où elle s'arrête. Elle suppose des rayons parallèles, ceux d'un soleil très lointain. Sous un réverbère, les rayons partent tous de la lampe : un objet deux fois plus haut n'a plus une ombre deux fois plus longue.
Aster : tu devines d'abord, puis tu touches la figure avant de lire. Pourquoi ce conseil
Fais grandir le bâton, puis compare les rapports, avant de lire les définitions. Ce que tu auras vu de tes yeux, le texte ne fera que le nommer.
Les définitions
Ce qui est toujours vrai
Une droite parallèle à un côté d'un triangle découpe un petit triangle qui est une copie réduite du grand : un seul nombre relie toutes leurs longueurs. Penses-y pour atteindre une longueur qu'on ne peut pas mesurer : une hauteur, une largeur.
L’énoncé exact
Théorème de Thalès : si les droites \((BM)\) et \((CN)\) sont sécantes en \(A\) et si \((MN)\parallel(BC)\), alors \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\).
Pour prouver que deux droites sont parallèles, on calcule deux rapports, chacun de son côté : égaux, et les points dans le même ordre, les droites sont parallèles. Penses-y pour vérifier qu'une pièce est bien parallèle à une autre.
L’énoncé exact
Réciproque : si \(A\), \(M\), \(B\) d'une part et \(A\), \(N\), \(C\) d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\), alors \((MN)\parallel(BC)\).
Deux rapports différents prouvent que les droites ne sont pas parallèles, même s'ils sont très proches. Penses-y : en géométrie, « presque égaux » ne prouve rien.
L’énoncé exact
Contraposée : si \(\dfrac{AM}{AB}\neq\dfrac{AN}{AC}\), alors les droites \((MN)\) et \((BC)\) ne sont pas parallèles.
Quand les deux triangles sont de part et d'autre du point commun, les égalités sont les mêmes. Penses-y quand deux droites se croisent entre deux parallèles, comme les rayons qui traversent la pupille de l'œil.
L’énoncé exact
Papillon : si \((BM)\) et \((CN)\) sont sécantes en \(A\), avec \(M\) et \(N\) de l'autre côté de \(A\) par rapport à \(B\) et \(C\), et si \((MN)\parallel(BC)\), alors \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\).
Recommencer cette notion ? Sur cet appareil, la page oublie où tu en étais dans cette notion : les étapes du fil, ta phrase, les onglets cochés. Ce que tu as déjà réussi reste compté, et tes rappels restent prévus.
Comment je fais ?
Aster : avant chaque étape, dis ce que tu ferais. Pourquoi ce conseil
Te tromper, puis lire la bonne réponse, t'apprend plus que lire d'abord.
Les étapes, en bref
- Ce qu'on cherche d'abord : une longueur qu'on ne peut pas mesurer, ou la preuve que deux droites sont parallèles. Repère le point où deux droites se coupent, et les deux droites qui les coupent.
- Toujours : deux rapports égaux, écrits dans le même ordre ; un produit en croix donne la longueur qui manque.
- Selon la question, une longueur : garde l'égalité de deux rapports qui contient la longueur cherchée et trois longueurs connues.
- Selon la question, un parallélisme : calcule les deux rapports pris sur les droites qui se coupent, chacun de son côté, et vérifie l'ordre des points : égaux, les droites sont parallèles ; différents, elles ne le sont pas. C'est le second problème, plus bas : « Et si le pylône penchait ? ».
Est-ce que j’y arrive ?
Aster : pose chaque calcul seul, puis compare avec la correction. Pourquoi ce conseil
Écrire ta réponse avant de la lire t'oblige à choisir la méthode, comme le jour de l'examen. Passe d'un type d'exercice à l'autre plutôt que de refaire le même. Aster te redonnera cette notion, espacée, dans Aujourd'hui : refais-la alors sans la correction.
À toi · le même problème, d'autres nombres
L'escabeau
Les montants d'un escabeau partent du sommet \(S\) : \(SA=2{,}4\) m et \(SB=2{,}1\) m ; au sol, \(AB=1{,}2\) m. La tablette \([MN]\), parallèle au sol, est fixée en \(M\) sur \([SA]\), à \(SM=0{,}8\) m. Comme pour le pylône :
Varier les exercices
Les réflexes de l’examen
Est-ce que je sais faire seul, sur un problème nouveau ?
Aster : fais tout le sujet, puis corrige-toi honnêtement. Pourquoi ce conseil
Se tester apprend plus que relire. Pour chaque erreur, repère l'étape qui a manqué : c'est plus utile que la note.
- Lis tout le sujet avant d’écrire.
- Commence par ce que tu sais faire.
- Si tu bloques plus de 3 min, passe et reviens.
Examen de la notion · calculatrice autorisée
La charpente du chalet et l'étang
- Dans la charpente d'un chalet, deux chevrons \([SA]\) et \([SB]\) partent du faîtage \(S\). L'entrait \([MN]\), parallèle au plancher \([AB]\), relie \(M\) sur \([SA]\) et \(N\) sur \([SB]\). On sait que \(SA=5\) m, \(SM=2\) m et \(AB=8\) m. Quelle est la longueur de l'entrait, en mètres ?
- Pour mesurer la largeur \(AB\) d'un étang, on plante un piquet \(O\), puis on prolonge \((AO)\) et \((BO)\) de l'autre côté jusqu'à \(C\) et \(D\), avec \((CD)\parallel(AB)\). On mesure \(OC=12\) m, \(OA=60\) m et \(CD=9\) m. Quelle est la largeur de l'étang, en mètres ?
- Dans la même charpente, où \(SB=6\) m, une jambe de force relie \(P\) sur \([SA]\), avec \(SP=3{,}5\) m, et \(Q\) sur \([SB]\), avec \(SQ=4{,}3\) m. Pour qu'elle soit parallèle au plancher, à quelle distance de \(S\) faudrait-il fixer \(Q\), en mètres ? Est-ce le cas ?
- Dans un autre chalet, l'entrait \([MN]\) mesure 2,4 m ; il est fixé à 1,2 m du faîtage sur le chevron \([SA]\), parallèle au plancher \([AB]\), large de 6 m. Quelle longueur de chevron reste-t-il entre \(M\) et \(A\), en mètres ?
Et ailleurs ?
Où retrouve-t-on cette idée ?
Partout la même idée : deux droites qui se coupent, coupées par deux parallèles, découpent des longueurs dans le même rapport ; ce rapport donne ce qu'on ne peut pas mesurer.
- L'image d'une lentille. Dans un appareil photo ou dans l'œil, les rayons qui passent par le centre de la lentille ne sont pas déviés : l'objet et son image forment deux triangles de part et d'autre du centre, une configuration en papillon. Cela explique qu'on prévoie la taille d'une image sans la mesurer : elle est à l'objet ce que la distance lentille–image est à la distance lentille–objet, et c'est pour cela que l'image d'un arbre lointain tient sur un capteur de quelques millimètres. Lentille mince convergente (2ᵈᵉ)